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指數函數
指數函數
e
z
{\displaystyle e^{z}}
可以定義為
(
1
+
z
n
)
n
{\displaystyle (1+{\frac {z}{n}})^{n}}
在
n
{\displaystyle n}
趨於無窮時的極限。在本動畫中，
z
=
i
π
3
{\displaystyle z={\frac {i\pi }{3}}}
而
n
{\displaystyle n}
選取從1增到100的各種值。
(
1
+
z
n
)
n
{\displaystyle (1+{\frac {z}{n}})^{n}}
的計算顯示為在複平面上
n
{\displaystyle n}
次乘法的組合效果。隨著
n
{\displaystyle n}
變大，這些點趨近於複平面單位圓，覆及
π
3
{\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}
弧度的角度。
如同在實數情況下，在複平面的指數函數可以用多種等價方式定義。比如冪級數形式的:
e
z
=
∑
n
=
0
∞
z
n
n
!
{\displaystyle e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}}
或者序列的極限：
e
z
=
lim
n
→
∞
(
1
+
z
n
)
n
{\displaystyle e^{z}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}}
它帶有虛數週期
2
π
i
{\displaystyle 2\pi i}
[prove 1]，它可以寫為
e
a
+
b
i
=
e
a
(
cos
b
+
i
sin
b
)
{\displaystyle \!\,e^{a+bi}=e^{a}(\cos b+i\sin b)}
這裡的
a
{\displaystyle a}
和
b
{\displaystyle b}
是實數值。參見歐拉公式，這個公式把指數函數和三角函數與指數函數聯繫起來。
在考慮定義在複平面上的函數的時候，指數函數擁有重要的性質
e
z
+
w
=
e
z
e
w
{\displaystyle \!\,e^{z+w}=e^{z}e^{w}}
e
0
=
1
{\displaystyle \!\,e^{0}=1}
e
z
≠
0
{\displaystyle \!\,e^{z}\neq 0}
d
d
z
e
z
=
e
z
{\displaystyle \!\,{d \over dz}e^{z}=e^{z}}
(
e
z
)
n
=
e
n
z
,
n
∈
Z
{\displaystyle \,(e^{z})^{n}=e^{nz},n\in \mathbb {Z} }
對於所有的
z
{\displaystyle z}
和
w
{\displaystyle w}
。
它是週期的全純函數。我們看到除了多項式的所有初等函數都以某種方式起源於指數函數。
擴展自然對數到復平面上的多值函數
ln
z
{\displaystyle \ln z}
，我們可以接著定義更一般性的指數函數：
z
w
=
e
w
ln
z
{\displaystyle \!\,z^{w}=e^{w\ln z}}
對於所有複數
z
{\displaystyle z}
和
w
{\displaystyle w}
，這也是多值函數，即使是在
z
{\displaystyle z}
為實數的情況下。前面關於正實數情況下的指數乘積規則在多值函數情況下必須改為:
(
e
z
)
w
≠
e
z
w
{\displaystyle (e^{z})^{w}\neq e^{zw}}
，而是
(
e
z
)
w
=
e
(
z
+
2
π
i
n
)
w
{\displaystyle (e^{z})^{w}=e^{(z+2\pi in)w}\,}
多值於整數n 之上。
指數函數把在複平面上任何直線映射到在複平面中以原點為中心的對數螺線。要注意兩個特殊情況：當最初的線平行於實數軸的時候，結果的螺線永不遮蓋（close in on）自身；當最初的線平行於虛數軸的時候，結果的螺線是某個半徑的圓。
在複平面上指數函數（主支）
z = Re(ex+iy)
z = Im(ex+iy)